Benammar Ammar, Houari
(2025).
« Adjoint linear systems and canonical structures on fibered varieties » Thèse.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.
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Résumé
Dans cette thèse, on établit plusieurs nouveaux résultats en géométrie algébrique complexe. La thèse est divisée en cinq chapitres. Dans le Chapitre 1, nous présentons une revue de la littérature sur les travaux de Xiao concernant la géographie des surfaces fibrées, l’application canonique des surfaces de type général, la théorie de l’annulation générique, les problèmes de génération globale, ainsi que quelques notions liées au programme minimal de Mori. Le Chapitre 2 explore en détail la méthode de la pente pour les surfaces fibrées. Elle est introduite par Xiao (108) pour démontrer sa célèbre inégalité pour une surface fibrée relativement minimale f : S → C, avec g(F) ≥ 2 : [formule disponible dans le document]. Plus précisément, soit f : S → C un morphisme surjectif à fibres connexes d’une surface projective lisse complexe S vers une courbe projective lisse C, avec fibre générale F. Dans notre article (9), nous développons une version plus générale de l’inégalité de la pente pour des données (D,F), où D est un diviseur relativement effectif arbitraire sur S, et F est un sous-faisceau localement libre de f∗OS(D). Nous analysons comment la spécialité de D, restreinte à la fibre générale, influence les résultats. De plus, nous calculons des exemples naturels et proposons des applications. Le Chapitre 3 porte sur la conjecture de Xiao concernant les surfaces canoniquement fibrées (Conjecture 1.2.5). L’auteur résout cette conjecture lorsque la base est une courbe elliptique (Théorème 3.1.2). Plus précisément, nous prouvons qu’il n’existe pas de surfaces de type général canoniquement fibrées f : S → C, avec fibre générale F de genre g(F) = 5 et g(C) = 1. Dans la section 3.2, nous proposons une méthode pour résoudre la conjecture et formulons une nouvelle conjecture (Conjecture 3.2.5) pour surmonter une difficulté technique. Cette dernière a récemment été résolue dans un article en collaboration (10) avec Chen et Grieve. Dans le Chapitre 4, nous utilisons des techniques issues de la théorie de l’annulation pour obtenir des résultats de génération globale. Nous montrons comment prouver la génération globale des systèmes linéaires adjoints sur des variétés irrégulières de manière inductive. Par exemple, nous prouvons que la conjecture de Fujita 1.3.1 est valide pour les variétés irrégulières de dimension n avec un fibré anticanonique nef, en supposant qu’elle est vraie pour les variétés de dimension inférieure et sous des hypothèses modérées. Ces résultats proviennent d’un article (pré-publication) de l’auteur (7). Enfin, dans le dernier chapitre, nous établissons certains résultats de positivité. Plus précisément, en appliquant la décomposition de Chen-Jiang, nous démontrons que la Conjecture 5.1.1 de non-annulation est vraie pour une paire lc (X, Δ), où X est une variété irrégulière, à condition qu’elle soit valide pour des variétés de dimension inférieure. De plus, nous étendons la décomposition de Catanese-Fujita-Kawamata au cas klt (X, Δ), ce qui conduit à l’existence de sections de KX + Δ dans certaines situations. Ce travail est effectué dans notre pré-publication (8).
| Type: |
Thèse ou essai doctoral accepté
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| Informations complémentaires: |
Fichier numérique reçu et enrichi en format PDF/A. |
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Directeur de thèse: |
Lu, Steven |
| Mots-clés ou Sujets: |
Géométrie algébrique / Nombres complexes |
| Unité d'appartenance: |
Faculté des sciences > Département de mathématiques |
| Déposé par: |
Service des bibliothèques
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| Date de dépôt: |
22 sept. 2025 13:02 |
| Dernière modification: |
22 sept. 2025 13:02 |
| Adresse URL : |
http://archipel.uqam.ca/id/eprint/19109 |
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