Kernel smoothing and diffusion processes on manifolds

Nguyen, Dinh-Toan (2025). « Kernel smoothing and diffusion processes on manifolds » Thèse. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

Cette thèse étudie le lien entre la théorie des probabilités et de la géométrie différentielle. Ces deux domaines peuvent interagir pour conduire à de nouvelles idées et applications en physique, finance, et machine learning. Mon travail est divisé en trois parties. Premièrement, nous étudions les opérateurs aléatoires sur les variétés lisses, compactes et connectées. Nous étudions les Laplaciens de graphe, qui sont construits à partir de points échantillonnés sur une variété. Ces Laplaciens agissent comme des versions discrètes de l’opérateur de Laplace-Beltrami, objet fondamental de la géométrie différentielle. Nous étendons les recherches précédentes en assouplissant les hypothèses sur les noyaux utilisées. Nous sommes ainsi en mesure de prouver des taux de convergence uniformes pour une large classe d’opérateurs aléatoires induits par le noyau, y compris ceux liés à la marche aléatoire du k-plus proches voisins le plus proche. Nous montrons ensuite que lors que le nombre de points de l’échantillon augmente, les marches aléatoires sur ces graphes convergent vers des processus de diffusion sur la variété. Ce résultat permet d’expliquer comment les modèles discrets peuvent approcher des processus de diffusion continus. La deuxième partie de la thèse se concentre sur le comportement en temps long des processus de diffusion sur les variétés. Nous étudions lesmesures d’occupation de ces processus, qui décrivent le temps passé dans différentes régions de la variété. En lissant ces mesures avec un noyau approprié, nous pouvons mesurer leur vitesse de convergence en distance de Wasserstein. Le lissage améliore la vitesse de convergence par rapport aux résultats existants, et nous prouvons que ces taux sont optimaux au sens minimax. Ce travail est important pour les applications où l’on a besoin de récupérer les propriétés géométriques d’une variété à partir de trajectoires l’explorant. Contrairement à de nombreuses études antérieures qui considèrent des échantillons indépendants, notre approche prend en compte la dépendance temporelle naturelle que l’on trouve dans les processus stochastiques. La troisième partie revisite le problème de l’estimation de la densité sur les variétés. L’estimation de la densité est un problème clé en statistique, et elle devient plus difficile lorsque les données se trouvent sur un espace courbé. Nous étendons les résultats connus en prouvant que les taux de convergence minimax pour les estimateurs de densité restent valables pour une classe plus large de fonctions de densité. Dans notre analyse, nous considérons des densités qui ne sont pas nécessairement minorée par une constante positive et qui peuvent de plus avoir un support non borné. Nous utilisons des techniques de la théorie du transport optimal et de la statistique non paramétrique pour généraliser les résultats précédents. Cela améliore non seulement notre compréhension théorique, mais a également des implications pratiques pour l’analyse des données dans des contextes à haute dimension où les données sont censées se situer sur une variété de basse dimension. _____________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : processus de diffusion sur les variétés, transport optimal, lissage par noyaux, vitesse minimax, théorèmes limites, marches aléatoires, géométrie différentielle.

Type:	Thèse ou essai doctoral accepté
Informations complémentaires:	Fichier numérique reçu et enrichi en format PDF/A.
Directeur de thèse:	Guérin, Hélène
Mots-clés ou Sujets:	Processus de diffusion / Variétés / Transport optimal / Fonctions de lissage / Noyaux (Mathématiques) / Minimax / Théorèmes limites / Marches aléatoires / Géométrie différentielle
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	09 févr. 2026 08:43
Dernière modification:	09 févr. 2026 08:43
Adresse URL :	https://archipel.uqam.ca/secure/id/eprint/19621

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