Ba, Mamadou Aliou
(2020).
« Une nouvelle identité de fluctuation pour un processus de Lévy observé à des instants de Poisson » Mémoire.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.
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Résumé
Ce mémoire s’intéresse principalement à un problème de la ruine du joueur généralisée. Plus précisément, on considère un processus de Lévy sans saut positif X, aussi appelé SNLP (Spectrally Negative Lévy Process, en anglais). On suppose que ce processus est observé à des instants aléatoires de sauts d’un processus de Poisson d’intensité λ qui est indépendant de X. On définit ainsi, pour a < b, la variable aléatoire T(a,b) = min{Tλi > 0 : XTλi ∈ (a, b)}, qui est le premier instant de Poisson où l’on observe le processus X dans l’intervalle (a, b). En particulier, T(−∞,0), est le premier instant de Poisson où l’on observe le processus en dessous de 0, ce qui correspond aussi à l’instant de la ruine parisienne exponentielle. On s’intéresse à la loi conjointe de (T(a,b),XT(a,b)). Plus précisément, pour 0 ≤ b ≤ c,a ≥ 0 et x ≤ c, on trouve une expression explicite pour Ex [e−qT(0,b)+θXT(0,b) ; T(0,b) < T−−a ^ Tc+], où X0 = x et T−−a = inf{t ≥ 0 : Xt < −a} et Tc+ = inf {t ≥ 0 : Xt > c}. Ce résultat principal généralise plusieurs identités de (Albrecher et al., 2016) et de (Palmowski et al., 2020).
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