Zerouali, Ahmed Jihad
(2014).
« Inégalité de Hitchin-Thorpe pour variétés à bords et à cusps feuilletés » Mémoire.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.
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Résumé
L'objectif du présent travail est d'obtenir une obstruction topologique à l'existence d'une métrique d'Einstein sur une variété riemannienne de dimension quatre, et dont le bord est un espace feuilleté. Dans un premier temps, on définit les notions préliminaires et on expose les résultats de la théorie de l'indice employés subséquemment, tels que la formule d'Atiyah-Patodi-Singer, la limite adiabatique de l'invariant êta, l'invariant rho pour des revêtements finis et la formule de G-signature. Dans la seconde partie, on considère d'abord l'espace des opérateurs de courbure associé à un espace Euclidien, et on étudie sa décomposition en facteurs irréductibles sous l'action du groupe orthogonal. Dans le cadre d'une variété différentiable, ceci est utilisé pour obtenir la forme normale du tenseur de Riemann, dont on se sert pour démontrer l'inégalité de Hitchin-Thorpe pour une variété compacte sans bord. Vient alors la partie centrale du mémoire, celle concernant les variétés non-compactes munies de structures de fibrés ou de feuilletages à l'infini. Dans ses deux premières sections, on construit le Phi-fibré tangent tel que défini par Mazzeo et Melrose, ainsi que le F-fibré tangent étudié par Rochon, et une fois munis de métriques riemanniennes adaptées à leurs géométries, on prouve que l'on peut construire des formes caractéristiques lisses pour des variétés à bords et à cusps fibrés ou feuilletés. Dans la dernière section, on utilise la décomposition du tenseur de Riemann en dimension quatre en conjonction avec les formules d'indice pour redémontrer l'inégalité de Hitchin-Thorpe de Dai et Wei (dans la Phi-géométrie), et ensuite pour établir une inégalité du même type qui soit adaptée à la F-géométrie de Rochon. Pour illustrer ces résultats, on présente enfin quelques exemples construits à partir des instantons gravitationnels asymptotiquement localement plats.
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Géométrie riemannienne, métriques d'Einstein, théorie de l'indice, invariant êta, Hitchin-Thorpe.
Type: |
Mémoire accepté
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Informations complémentaires: |
Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur. |
Directeur de thèse: |
Rochon, Frédéric |
Mots-clés ou Sujets: |
Géométrie de Riemann, Théorèmes d'indices, Métriques d'Einstein, Invariants êta, Inégalités de Hitchin-Thorpe |
Unité d'appartenance: |
Faculté des sciences > Département de mathématiques |
Déposé par: |
Service des bibliothèques
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Date de dépôt: |
28 juill. 2015 12:36 |
Dernière modification: |
28 juill. 2015 12:36 |
Adresse URL : |
http://archipel.uqam.ca/id/eprint/7162 |