Gonzalez Lepe, Alexandro
(2019).
« Action hamiltonienne d'un tore sur une variété localement conformément symplectique » Mémoire.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.
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Résumé
La théorie des variétés symplectiques munies d'une action hamiltonienne de tore de dimension maximale prend ses origines dans l'étude classique des systèmes hamiltoniens intégrables. Grâce aux théorèmes célèbres de convexité d'Atiyah et de Guillemin-Steinberg, ainsi que du théorème de classification de Delzant, les variétés symplectiques compactes munies d'une telle action de tore (appelées variétés toriques) constituent aujourd'hui la classe la plus importante des variétés projectives complexes sur laquelle des calculs spécifiques sont réalisables et où de nombreuses conjectures clefs en géométrie complexe ont été testées. Dans ce mémoire, nous étudions la théorie générale menant à la classification des variétés toriques, en passant par des notions de géométrie différentielle, d'algèbre linéaire complexe et d'actions hamiltoniennes. Nous examinons aussi une partie de la preuve du théorème de Delzant. Peu d'exemples aussi riches sont connus en dehors de la catégorie de variétés symplectiques. Cependant, un résultat récent de Eliashberg-Murphy établit l'existence d'une structure localement conformément symplectique (LCS) sur toute variété presque-complexe compacte à premier nombre de Betti non-nul. En même temps, Apostolov-Dloussky ont démontré que toute surface complexe compacte est dominée par une telle structure. Nous faisons donc l'étude systématique des variétés LCS munies d'une action hamiltonienne tordue d'un tore. En se restreignant à la classe des variétés localement conformément kählériennes (LCK), N. Istrati est arrivée récemment à démontrer qu'une variété LCK torique compacte possède nécessairement une métrique de Vaisman. Nous examinons en détails ce résultat qui, avec les travaux de Pilca et de Lerman, mène à la classification des variétés LCK toriques compactes.
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Géométrie symplectique, variété kählérienne, action hamiltonienne, application moment, variété torique, variété localement conformément symplectique
Type: |
Mémoire accepté
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Informations complémentaires: |
Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur. |
Directeur de thèse: |
Apostolov, Vestislav |
Mots-clés ou Sujets: |
Géométrie symplectique / Variétés kählériennes / Systèmes hamiltoniens / Variétés toriques / Variétés symplectiques |
Unité d'appartenance: |
Faculté des sciences > Département de mathématiques |
Déposé par: |
Service des bibliothèques
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Date de dépôt: |
10 juin 2019 08:18 |
Dernière modification: |
10 juin 2019 08:18 |
Adresse URL : |
http://archipel.uqam.ca/id/eprint/12568 |