Ba, Ismaïla
(2022).
« Inférence pour les modèles de Gibbs (in)homogènes possiblement de grande dimension » Thèse.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.
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Résumé
Les modèles de Gibbs occupent une place centrale dans l’analyse des données spatiales que l’on retrouve de nos jours dans plusieurs domaines scientifiques. Ils modélisent des motifs de points avec une interprétation claire de l’interaction entre les points et sont capables de modéliser des motifs de points attractifs et/ou répulsifs. De plus, ils sont souvent spécifiés par leur intensité conditionnelle qui, pour une configuration x et un emplacement u, est grosso modo la probabilité qu’un évènement se produise dans une boule infinitésimale autour de u étant donné le reste de x. La classe de modèles la plus simple, naturelle et facile à interpréter est celle des processus ponctuels d’interaction de paires où l’intensité conditionnelle dépend du nombre de points et des distances par paires entre eux (ou plus généralement de la fonction d’interaction de paires). Dans cette thèse, nous proposons de nouvelles méthodologies d’estimation paramétrique de la fonction d’intensité conditionnelle et non paramétrique de la fonction d’interaction de paires pour les modèles de Gibbs (in)homogènes. Primo, nous proposons une approche de vraisemblance composite avec des penalités convexes et non convexes pour traiter les problèmes de type sélection de variables pour les modèles de Gibbs inhomogènes dans un contexte possiblement de grande dimension. La vraisemblance composite englobe la fonction de pseudovraisemblance et la fonction de pseudo-vraisemblance logistique. Nous examinons particulièrement la situation où de nombreuses covariables spatiales sont observées. Pour une grande classe de pénalités, nous montrons que l’estimateur régularisé est parcimonieux et satisfait la normalité asymptotique. À travers des expériences de simulation, nous évaluons les performances de l’approche proposée. Nous illustrons l’application de cette approche par la modélisation des positions d’arbres observées dans une forêt avec un très grand nombre de variables telles que l’altitude, la dénivellation, variables liées à la nature des sols, interaction entre ces variables. Deusio, nous proposons une procédure d’estimation du logarithme de la fonction d’interaction de paires d’un modèle de Gibbs homogène par projection orthogonale. Cette procédure d’estimation est simple, rapide et complètement basée sur les données. Ainsi, nous dérivons ses propriétés asymptotiques c’est-à-dire nous montrons que l’estimateur obtenu par projection orthogonale est consistant et satisfait la normalité asymptotique. De plus, des études de simulation sont menées pour évaluer la performance de cette procédure d’estimation. Enfin, en guise d’illustration pratique nous appliquons cette méthodologie à trois jeux de données réelles. Cette application nous permet par exemple d’avoir une idée claire de la nature de l’interaction qu’il y’a entre les points de chacun de ces trois jeux de données.
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : statistique spatiale, processus ponctuel de Gibbs, problèmes de grande dimension, vraisemblance composite, méthode de régularisation, sélection de variables, estimation par projection orthogonale, fonction d’interaction de paires
| Type: |
Thèse ou essai doctoral accepté
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| Informations complémentaires: |
Fichier numérique reçu et enrichi en format PDF/A. |
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Directeur de thèse: |
Descary, Marie-Hélène |
| Mots-clés ou Sujets: |
Processus ponctuel de Gibbs / Analyse spatiale (Statistique) |
| Unité d'appartenance: |
Faculté des sciences > Département de mathématiques |
| Déposé par: |
Service des bibliothèques
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| Date de dépôt: |
03 août 2022 08:39 |
| Dernière modification: |
03 août 2022 09:27 |
| Adresse URL : |
http://archipel.uqam.ca/id/eprint/15710 |
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