Malenfant, Simon
(2022).
« Systèmes complets d'idempotents primitifs orthogonaux et lunes » Mémoire.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.
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Résumé
Le monoïde des faces d'un arrangement d'hyperplans A a des sous-ensembles particuliers appelés lunes qui sont définis à partir de deux faces de A. L'objectif de ce mémoire est d'expliciter la construction de systèmes complets d'idempotents primitifs orthogonaux de l'algèbre des faces de A à partir des lunes de A. Dans un premier temps, on s'intéresse à la structure de l'algèbre des intersections de A. Le support est un morphisme d'algèbre qui lie l'algèbre des faces de A avec l'algèbre des intersections de A. Il permet de relever les systèmes complets d'idempotents primitifs orthogonaux de l'algèbre des faces de A à partir de l'unique système complet d'idempotents primitifs orthogonaux de l'algèbre des intersections de A. La construction de Saliola donne explicitement tous ces relèvements à partir des sections homogènes du support. Dans un deuxième temps, on étudie les lunes de A. Les lunes induisent une sous-algèbre de l'algèbre d'incidence des faces de A. Dans cette sous-algèbre se trouvent les fonctions de Möbius non commutatives et zeta non commutatives. Les fonctions de Möbius non commutatives correspondent à certaines bases de l'algèbre des faces de A. Les sections homogènes du support correspondent aux fonctions zeta non commutatives. De ceci, on obtient une façon d'exprimer tout système complet d'idempotents primitifs orthogonaux de l'algèbre des faces de A à partir d'une fonction de Möbius non commutative et d'une fonction zeta non commutative. Dans un troisième temps, on montre que les résultats pour l'algèbre des faces d'un arrangement d'hyperplans se généralisent aux algèbres construites à partir d'un matroïde orienté. Aussi, on propose une définition de lune dans un ensemble de vecteurs signes localement inversibles.
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : arrangement d'hyperplans, système complet d'idempotents primitifs orthogonaux, construction de Saliola, lune, fonction de Möbius non commutative, fonction zeta non commutative, matroïde orienté
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