Étude des ordres et treillis

Segovia, Adrien (2026). « Étude des ordres et treillis » Thèse. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

Dans cette thèse, nous démontrons plusieurs résultats au sujet des ordres et des treillis. Dans un premier temps, nous démontrons que tout ordre unicyclique, c’est-à-dire un ordre dont le graphe des couvertures a exactement un cycle, est de dimension au plus 3. Il s’agit d’un travail en collaboration (Abram, Segovia, 2025) qui résout une conjecture formulée en 1997 (Bollobás, Brightwell, 1997, Conjecture 1.1). Cette conjecture est motivée par le fait que ces ordres apparaissent naturellement comme ordres aléatoires. Nous donnons une preuve constructive, fournissant des triplets d’extensions linéaires réalisant ces ordres. Pour y parvenir, nous donnons en particulier une nouvelle preuve du fait que les ordres dont le graphe des couvertures est un arbre sont de dimension au plus 3. Dans le reste de la thèse, on s’intéresse aux treillis. Les contributions sont dans deux directions : à la théorie générale des treillis dans un premier temps, puis à l’étude précise d’un treillis venant de la théorie des représentations des algèbres dans un second temps. Pour la théorie générale des treillis, nous donnons une nouvelle définition équivalente des treillis modulaires à gauche à l’aide de certains étiquetages naturels des relations de couverture du treillis. Nous démontrons un critère sur les doublements d’un treillis congruence uniforme qui caractérise la modularité à gauche de ces treillis. Nous établissons également qu’un treillis congruence uniforme est shellable si et seulement s’il est extrémal. On donne également le premier exemple d’un complexe sup canonique d’un treillis semi-distributif qui contient un sous-complexe induit qui n’est pas un complexe sup canonique d’un treillis semi-distributif. Ceci répond à une question de Barnard (Barnard, 2017, Question 2.5.5). Une autre contribution à la théorie des treillis est une formule pour la dimension des treillis semi-distributifs extrémaux, qui est utilisée pour donner la dimension de plusieurs familles de treillis. Ceci inclut l’obtention de la dimension des treillis des classes de torsion des arbres aimables, qui sont de dimension n pour les arbres ayant n sommets. Enfin, nous étudions en détail le treillis des classes de torsion supérieures des algèbres d’Auslander supérieures de type A. En particulier, nous démontrons que ces treillis sont sup-congruence uniformes, modulaires à gauche et sup-extrémaux. Nous démontrons également que les treillis des classes de torsion supérieures des algèbres de Nakayama supérieures de type A sont des quotients de treillis de ceux d’Auslander supérieures. Ces différents résultats sont obtenus comme cas particulier d’une nouvelle construction de treillis que nous appelons les treillis (P, ϕ)-Tamari où P est un poset et ϕ est une chaîne de P.

Type:	Thèse ou essai doctoral accepté
Informations complémentaires:	Fichier numérique reçu en format PDF.
Directeur de thèse:	Thomas, Hugh R.
Mots-clés ou Sujets:	Théorie des treillis / Ensembles partiellement ordonnés / Combinatoire algébrique
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	14 juill. 2026 08:14
Dernière modification:	14 juill. 2026 08:14
Adresse URL :	https://archipel.uqam.ca/secure/id/eprint/20179

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