Autour du monoïde stylique

Abram, Antoine (2025). « Autour du monoïde stylique » Thèse. Montréal (Québec), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

Dans cette thèse nous étudions une action du monoïde libre A∗ sur les tableaux colonnes à l’aide de l’insertion de gauche de Schensted. Cette action définit une relation de congruence ≡Styl et ainsi un monoïde quotient de A∗ appelé le monoïde stylique, Styl(A). Il s’avère être un quotient fini du monoïde plaxique. Le monoïde stylique présente plusieurs propriétés intéressantes. Nous décrivons la structure de ce monoïde à l’aide d’un algorithme d’insertion de lettre dans des tableaux appelés des N-tableaux, très proche de l’insertion de Schensted. Grâce à cela nous montrons que sa cardinalité est égale au nombre de partitions ensemblistes d’un ensemble à |A| + 1 éléments. Ce monoïde possède une présentation simple, il est quotient du monoïde libre A∗ par l’union des relations plaxiques avec l’idempotence a2 = a des lettres a ∈ A. L’antiautomorphisme involutif canonique sur A∗, renversant l’ordre de A, induit une involution sur Styl(A) qui, tout comme l’involution correspondante dans le monoïde plaxique, peut se calculer à l’aide d’une opération d’évacuation sur les tableaux immaculés standards (de manière analogue à l’involution de Schützenberger sur les tableaux pour le monoïde plaxique). Le monoïde Styl(A) estJ-trivial, et sonJ-ordre est gradué : le co-rang est le nombre d’éléments dans le N-tableau. Le monoïde Styl(A) est le monoïde syntaxique pour la fonction associant à chaque mot W ∈ A∗ la longueur de son plus long sous-mot strictement décroissant. Au travers de cette étude, nous revisitons deux résultats connus pour lesquels il manque une preuve directe et complète. Le premier est un résultat de Lascoux et Schützenberger (Lascoux, Schüztzenberger, 1981, Théorème 2.15) dans lequel ils affirment que le monoïde plaxique est le monoïde syntaxique pour la fonction associant à chaque mot W ∈ A∗ la forme de son P-tableau. Cependant, ils énoncent ce théorème sans preuve. Le deuxième est un résultat dû à Schensted (Schensted, 1961, Lemma 6) dans lequel il affirme la commutativité entre ses insertions à gauche et à droite. Sa preuve est malheureusement incomplète. Nous en donnons une complète en étudiant les chemins d’insertion gauche et droit. Finalement, nous construisons un système complet d’idempotents primitifs et orthogonaux de l’algèbre du monoïde stylique. Grâce à ces idempotents, nous construisons de manière explicite une présentation de cette algèbre en terme de quotient d’une algèbre de chemin dans un carquois.

Type:	Thèse ou essai doctoral accepté
Informations complémentaires:	Fichier numérique reçu et enrichi en format PDF/A.
Directeur de thèse:	Reutenauer, Christophe
Mots-clés ou Sujets:	Monoïdes / Combinatoire
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	25 sept. 2025 15:08
Dernière modification:	25 sept. 2025 15:08
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/19134

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