Abdallah, Kevin
(2024).
« Exploration de l'opérade dupliciale et de ses sous-opérades » Mémoire.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.
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Résumé
La combinatoire est un domaine des mathématiques qui se spécialise dans le comptage et l’arrangement d’ensembles finis, utilisant souvent des outils tels que les séries génératrices pour comprendre des modèles complexes. Elle est essentielle pour comprendre les structures en théorie des graphes, en probabilité, et pour aider à optimiser les algorithmes en informatique. En combinatoire, les opérades sont utiles pour découvrir des caractéristiques de structures combinatoires et favoriser de nouvelles découvertes. Ce sont des structures algébriques qui définissent des opérations avec plusieurs entrées et une sortie, permettant la création d’opérations complexes et combinées. Les opérades se présentent sous différentes formes, par exemple, les opérades colorées et les opérades non-symétriques. Ce travail se concentre principalement sur l’opérade dupliciale, une opérade non-symétrique définie par l’insertion d’un nouvel arbre binaire dans un noeud d’un arbre existant. L’opérade dupliciale est engendrée par deux arbres binaires spécifiques et un ensemble de relations. Nous approfondissons cette étude en examinant DupG, la sous-opérade engendrée par un ensemble G. Plus spécifiquement, notre attention se porte sur des singletons G contenant un arbre à n noeuds, où la racine doit avoir un enfant gauche et un enfant droit, en utilisant les outils présentés dans les chapitres précédents pour explorer cette structure au sein du cadre dupliciale. Dans ce cadre, notre analyse révèle un aspect intéressant de DupG : le nombre DupG(i), défini comme le nombre d’arbres binaires ayant i noeuds dans DupG, correspond au nombre d’arbres n-aires possédant exactement i feuilles, qui est compté en utilisant les suites de Fuss-Catalan. Ce résultat fournit une compréhension plus approfondie des propriétés énumératives de DupG et de sa relation avec la structure des arbres binaires.
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