Vachon, Marie-Claude
(2025).
« Pricing american-type financial instruments with Markov chains approximations » Thèse.
Montréal (Québec), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.
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Résumé
Dans cette thèse, nous considérons l’évaluation d’instruments financiers de type américain avec une fonction de gain non bornée, dépendante du temps et discontinue. Ce problème est motivé par l’évaluation de fonds distincts offrant une garantie minimale à l’échéance et de titres de créance tels que les obligations convertibles. Le Chapitre 2 étudie le problème de façon théorique, alors que les Chapitres 3 et 4 présentent des algorithmes efficaces pour l’évaluation de ce type d’instruments financiers. Ces algorithmes sont basés sur une méthode numérique récente qui repose sur les chaînes de Markov à temps continu pour approximer le processus de diffusion sous-jacent. Plus spécifiquement dans le Chapitre 2, nous effectuons une analyse rigoureuse de la fonction valeur d’un contrat de fonds distinct dans le modèle de Black-Scholes, lorsque les frais et les pénalités de rachat anticipé (ou charges de rachat anticipé) dépendent à la fois du temps et de la valeur du fonds (voir par exemple, Bernard et al. (2014a)). Sous l’hypothèse que l’assuré maximise la valeur neutre au risque de son contrat, l’évaluation de fonds distincts équivaut à résoudre un problème d’arrêt optimal similaire à l’évaluation d’option américaine. Cependant, la garantie s’appliquant uniquement à l’échéance du contrat dans un fonds distinct crée une discontinuité dans la fonction de gain à l’échéance, ce qui la distingue des fonctions de gain continues généralement étudiées dans la littérature des options américaines et complique le problème d’arrêt optimal impliqué dans l’évaluation de fonds distinct. En particulier, nous donnons une condition sous laquelle le temps d’arrêt optimal se produit toujours à l’échéance du contrat. En utilisant une représentation alternative de la fonction valeur pour le problème d’optimisation, nous étudions ses propriétés analytiques ainsi que la région de rachat (ou d’exercice) qui en résulte. Nous démontrons que la non-vacuité et la forme de la région de rachat sont entièrement caractérisées par les fonctions de frais et de charge de rachat, fournissant ainsi un outil puissant pour comprendre leur interrelation et comment elles affectent les rachats anticipés et la frontière de rachat optimale. Sous certaines conditions sur ces deux fonctions, nous développons trois représentations de la fonction valeur, deux sont analogues à celle de l’option américaine, alors que l’autre est nouvelle dans la littérature actuarielle et d’évaluation d’options américaines. Le Chapitre 3 est aussi consacré à l’évaluation de fonds distincts. Dans ce chapitre, une méthode numérique récente basée sur les chaînes de Markov à temps continu est explorée pour l’évaluation de fonds distincts avec une structure de frais générale sous une classe de modèles à volatilité stochastique incluant entre autres les modèles de Heston, Hull-White, Scott, α-Hypergeometric, 3/2, et 4/2. En particulier, l’impact d’une structure de frais liée à l’indice de volatilité VIX sur la stratégie de rachat optimale d’un contrat de fonds distincts avec une prestation minimale garantie à l’échéance est analysé. En approximant la valeur du fonds par une chaine de Markov à temps continu à deux dimensions, nous développons des algorithmes efficaces. Lorsque le contrat est détenu jusqu’à l’échéance, une expression analytique sous forme matricielle est obtenue pour la valeur du contrat. Nous fournissons également une façon simple et efficace de déterminer la valeur des rachats anticipés à l’aide d’un algorithme récursif et donnons procédure simple pour approximer la surface de rachat optimale. Le Chapitre 4 étend la méthode numérique explorée dans le Chapitre 3 aux processus de diffusion non homogènes dans le temps pour l’évaluation de titres de créance tels que les obligations, les options sur obligations, les obligations rachetables/rétractables et les obligations convertibles. Plus précisément, des expressions analytiques sous forme matricielle sont obtenues pour approximer le prix d’obligations et d’options sur obligations sous des processus généraux de taux court à une dimension, et un algorithme efficace est développé pour l’évaluation de dettes rachetables/rétractables. La disponibilité d’une expression analytique pour le prix d’obligations zéro-coupon permet l’ajustement parfait du modèle approximé à la structure à terme actuelle des taux d’intérêt du marché, quelle que soit la complexité du processus de diffusion sousjacent sélectionné. Nous considérons également l’évaluation d’obligations convertibles sous des processus de diffusion bi-dimensionnels non homogènes dans le temps pour modéliser la dynamique d’une action et des taux courts. Basé sur une approximation à chaine de Markov à temps continu à deux dimensions, un algorithme efficace est développé pour approximer le prix d’obligations convertibles. Lorsque la conversion n’est permise qu’à l’échéance du contrat, une expression analytique sous forme matricielle est obtenue. Des expériences numériques démontrent la précision et l’efficacité de la méthode sur un large éventail de paramètres de modèle et de modèles de taux d’intérêt court.
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : problèmes d’arrêt optimal, options américaines, méthodes numériques en finance, chaînes de markov à temps continu, volatilité stochastique, taux d’intérêt stochastique, fonds distincts, titres de créance, obligations convertibles
| Type: |
Thèse ou essai doctoral accepté
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| Informations complémentaires: |
Fichier numérique reçu et enrichi en format PDF/A. |
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Directeur de thèse: |
Renaud, Jean-François |
| Mots-clés ou Sujets: |
Options (Finances) / Annuités variables / Obligations convertibles / Fonds distincts / Arrêt optimal / Modèles stochastiques / Processus de Markov |
| Unité d'appartenance: |
Faculté des sciences > Département de mathématiques |
| Déposé par: |
Service des bibliothèques
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| Date de dépôt: |
05 mars 2025 11:35 |
| Dernière modification: |
05 mars 2025 11:35 |
| Adresse URL : |
http://archipel.uqam.ca/id/eprint/18546 |
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