Inférence bayésienne nonparamétrique pour les densités à support métrique compact et problèmes apparentés

Binette, Olivier (2019). « Inférence bayésienne nonparamétrique pour les densités à support métrique compact et problèmes apparentés » Mémoire. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.

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Résumé

Le thème principal de ce mémoire est l'estimation de densités définies sur des espaces métriques compacts en utilisant des méthodes bayésiennes nonparamétriques (Binette and Guillotte, 2018). Le cas où l'espace métrique est le cercle, d'intérêt en statistique circulaire et directionnelle, est développé avec une attention particulière. Nous proposons dans ce contexte une base de densités de probabilités des polynômes trigonométriques possédant des propriétés de préservation de la forme analogues aux densités polynomiales de Bernstein. Une étude de simulation montre que des estimateurs bayésiens nonparamétriques développés à l'aide de cette base peuvent offrir des gains par rapport à des méthodes comparables précédemment suggérées dans la littérature. D'un point de vue théorique, nous étudions les propriétés de concentration, pour la distance de Hellinger, des distributions a posteriori issues de modèles engendrés par des opérateurs d'approximation linéaires positifs de rang fini. Ce type de modèles généralise les polynômes aléatoires de Bernstein à l'utilisation d'autres types de bases de densités de probabilités définies sur des espaces métriques compacts arbitraires. Ceux-ci se prêtent particulièrement bien à l'estimation sous contraintes de formes et les calculs a posteriori peuvent généralement être effectués à l'aide du Slice Sampler de Kalli et al. (2011). Nous obtenons la convergence de la distribution a posteriori sous des conditions de régularité particulièrement faibles ne nécessitant pas d'hypothèses de continuité. Des vitesses de convergences adaptatives sont de plus obtenues en termes de la croissance du rang des opérateurs et de leurs propriétés d'approximation. Ces contributions sont liées à quelques bases mathématiques présentées dans le premier chapitre. Nous y introduisons différentes fonctions connues de divergences sur des ensembles de mesures de probabilités ainsi que leur relation au rapport de vraisemblance. De nouvelles inégalités de type Pinsker inverse, permettant d'obtenir des bornes optimales sur les f-divergences en termes de la variation totale et des extremums du rapport de vraisemblance (Binette, 2019), sont dérivées dans le Chapitre 2.

Type:	Mémoire accepté
Informations complémentaires:	Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur.
Directeur de thèse:	Guillotte, Simon
Mots-clés ou Sujets:	Espaces métriques / Espaces compacts / Densité / Estimation par la méthode de Bayes / Statistique non paramétrique
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	26 oct. 2020 12:48
Dernière modification:	26 oct. 2020 12:48
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/13621

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