Une introduction à la conjecture du volume

Desjardins, Fanny (2018). « Une introduction à la conjecture du volume » Mémoire. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.

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Résumé

Le présent mémoire constitue une introduction à la conjecture du volume. D'abord énoncée par Kashaev pour les nœuds hyperboliques, cette conjecture a ensuite été étendue à tous les autres nœuds par Jun et Hitoshi Murakami qui ont utilisé le volume simplicial (ou norme de Gromov) plutôt que le volume hyperbolique. La conjecture du volume établit qu'une certaine limite du polynôme de Jones coloré d'un nœud est égal au volume du complément du nœud. Pour énoncer cette conjecture, nous avons eu besoin, entre autres, des notions de R-matrice et de l'algèbre enveloppante quantique du groupe de Lie sl(2,C) que nous introduisons en ne supposant connues que quelques notions élémentaires en algèbre linéaire et en algèbre abstraite. Nous présentons par la suite une brève introduction à la géométrie hyperbolique afin de définir les tétraèdres hyperboliques idéaux et le volume simplicial. L'algèbre enveloppante quantique de sl(2,C), les R-matrices et des notions en théorie des tresses nous servent ensuite à définir le polynôme de Jones coloré. Ce dernier polynôme et le volume simplicial en main, nous pouvons énoncer la conjecture du volume et faire une démonstration pour le nœud figure-huit. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : nœuds, polynôme de Jones coloré, conjecture du volume, géométrie hyperbolique, invariant quantique, algèbre enveloppante quantique, R-matrices, opérateurs de Yang-Baxter, algèbre de Hopf

Type:	Mémoire accepté
Informations complémentaires:	Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur.
Directeur de thèse:	Collin, Olivier
Mots-clés ou Sujets:	Conjecture du volume / Théorie des nœuds / Polynômes de Jones / Géométrie hyperbolique / Groupes quantiques
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	25 juill. 2018 10:48
Dernière modification:	25 juill. 2018 10:48
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/11465

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