Benabida, Abdou Oussama
(2026).
« Resolutions and smoothings of Calabi-Yau conifolds » Thèse.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.
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Résumé
Dans cette thèse, nous montrons que les métriques de Calabi–Yau à singularités coniques isolées construites par Hein–Sun (27) admettent des développements polyhomogènes au voisinage de leurs singularités. De plus, nous montrons que, sous certaines hypothèses génériques, des familles naturelles de métriques de Calabi–Yau lisses sur des résolutions crépantes et sur des lissages polarisés de variétés de Calabi–Yau coniques, dégénérant vers la métrique de Calabi–Yau conique initiale, admettent également des développements polyhomogènes aux endroits où se forment les singularités. La construction consiste à effectuer des éclatements pondérés à la Melrose, puis à recoller sur les fibres des métriques de Calabi–Yau coniques et des métriques de Calabi–Yau asymptotiquement coniques mises à l’échelle, au voisinage de la face frontale de l’éclatement, sans compromettre la polyhomogénéité. On obtient ainsi une famille polyhomogène de métriques kählériennes approximativement de Calabi–Yau. En résolvant formellement une équation complexe de Monge–Ampère, nous obtenons une famille polyhomogène de métriques kählériennes dont le potentiel de Ricci converge rapidement vers zéro lorsque la famille dégénère. Nous pouvons alors conclure que la famille correspondante de métriques de Calabi–Yau dégénérantes est polyhomogène en utilisant un argument de point fixe.
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