Théorie des noeuds et espaces de représentations

Plouhinec, Jean-Baptiste (2006). « Théorie des noeuds et espaces de représentations » Mémoire. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.

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Résumé

Ce mémoire a pour but de présenter quelques résultats classiques de théorie des noeuds et de faire un parallèle entre cette théorie et les espaces de représentations associés au groupe d'un noeud. Le premier chapitre est consacré à une introduction de la théorie des noeuds dans lequel nous allons définir les surfaces de Seifert, le polynôme d'Alexander, le nombre d'entrelacement, les matrices de Seifert, le groupe d'un noeud. Quelques notions plus complexes vont être présentées comme le revêtement double ramifié le long d'un noeud, qui nous permettra d'établir une relation entre l'ordre du groupe d'homologie de ce revètement double et le polynôme d'Alexander évalué en -1. Le second chapitre présente le goupe SU(2) et le lien existant entre la conjugaison par un de ces élements et les rotations dans l'espace. Sont ensuite introduites les notions d'espaces de représentations illlustrées par le calcul explicite de celui du cercle, du noeud de trèfle, du double de Whitehead et du tore. Dans ce même chapitre nous présentons les twists de Dehn, chirurgies de Dehn et le résultat de Lickorish concernant l'obtention à partir de S³, de toute 3-variété fermée orientable, par chirurgie entière le long d'un entrelacs. Le troisième chapitre se concentre sur les espaces de représentations dans le groupe binaire dihédrale. Ces quelques pages proposent une ébauche de construction par chirurgie du polynôme d'Alexander évalué en -1. Nous présentons une approche géométrique de la construction de cet invariant en utilisant les relations skeins et la formule de Conway. Les dernières pages de ce mémoire sont consacrées à une brève introduction à l'invariant de Casson. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Mathématiques, Théorie des noeuds, Espaces de représentations, Invariant de Casson, Quaternions.

Type:	Mémoire accepté
Informations complémentaires:	Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur.
Directeur de thèse:	Collin, Olivier
Mots-clés ou Sujets:	Théorie des noeuds, Invariant, Espace de représentation, Quaternion
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	RB Service des bibliothèques
Date de dépôt:	07 avr. 2009
Dernière modification:	26 sept. 2018 16:23
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/2017

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