Abram, Antoine
(2020).
« Réduction de Gauss des formes quadratiques binaires » Mémoire.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.
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Résumé
Dans ce mémoire nous discutons des formes quadratiques binaires entières. Nous présentons une action à droite de Z2x2, les matrices 2x2 entières, nous permettant d'introduire des relations d'équivalence, sous l'action de SL2(Z) et de GL2(Z). En nous concentrant sur les formes définies et les formes indéfinies irréductibles, i.e. qui ne sont pas le produit de deux formes linéaires, nous définissons ce qu'est une forme réduite pour chacune de ces types de formes. Pour la première, nous montrons l'unicité d'une telle forme dans les SL2(Z)-classes d'équivalence. Pour les formes indéfinies, nous n'avons pas cette unicité mais nous organisons les formes réduites en cycles, les cycles de Gauss. Nous bornons dans les deux cas le minimum d'une forme avec une borne optimale et mettons en évidence un lien entre les formes ambigües et l'égalité entre une SL2(Z)-classe et une GL2(Z)-classe.
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Forme quadratique binaire entière, réduction, forme réduite, cycle de Gauss, forme ambigüe, SL2(Z)-classe, GL2(Z)-classe
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