Constructions quasipériodiques : ensembles apériodiques de tuiles et sous-arbres induits optimaux dans des pavages substitutifs

Porrier, Carole (2023). « Constructions quasipériodiques : ensembles apériodiques de tuiles et sous-arbres induits optimaux dans des pavages substitutifs » Thèse. Montréal (Québec), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

Un pavage du plan est composé d'ensembles fermés qui couvrent le plan entier sans trou ni chevauchement. Cette thèse est centrée sur les pavages quasipériodiques : bien qu'ils ne soient pas périodiques, on y trouve partout les mêmes motifs finis et leurs propriétés peuvent être assez fortes. On commence par se pencher sur les pavages "HBS", dérivés des pavages de Penrose, dont on fait un état de l'art avant de décrire de nouvelles propriétés. Ces pavages et des substitutions sont ensuite utilisés pour trouver la "fonction feuille" des pavages kites and darts de Penrose : on construit dans les graphes de Penrose une famille de sous-arbres induits "pleinement feuillus" arbitrairement grands, c'est-à-dire ayant le plus grand nombre possible de feuilles à nombre de sommets n fixé. On note ce nombre de feuilles LP2(n) pour tout entier naturel n, et la suite (LP2(n))n∈N est appelée fonction feuille des graphes de Penrose. On en donne la formule. Les barres d'Ammann ayant également joué un rôle dans l'étude du problème cidessus, on tente de mieux les comprendre via la notion de sous-périodes. Ces dernières découlent d'un schéma de coupe et projection permettant de définir certains pavages, dont les pavages de Penrose par losanges. On définit alors une méthode permettant de trouver des barres d'Ammann pour de nombreux pavages, en construisant des jeux de tuiles décorées, qui sont apériodiques. Enfin, la question des règles locales, également liée aux sous-périodes et substitutions, permet par ailleurs de construire un jeu de tuiles de Wang associé aux pavages golden octagonal, ainsi qu'une partition de Markov pour une Z2-rotation sur un tore, offrant une représentation symbolique de ces pavages. _____________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : graphe, sous-arbre induit, fonction feuille, pavages de Penrose, substitutions, barres d'Ammann, coupe et projection, sous-périodes, règles locales, pavages golden octagonal, tuiles de Wang, dynamique symbolique, partition de Markov

Type:	Thèse ou essai doctoral accepté
Informations complémentaires:	Fichier numérique reçu et enrichi en format PDF/A.
Directeur de thèse:	Blondin Massé, Alexandre
Mots-clés ou Sujets:	Pavage (Mathématiques) / Théorie des graphes
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	11 févr. 2025 16:19
Dernière modification:	11 févr. 2025 16:19
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/18471

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