Le théorème de Perrine

Djermane, Fatiha (2017). « Le théorème de Perrine » Mémoire. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.

Fichier(s) associé(s) à ce document :

Prévisualisation	PDF Télécharger (3MB)

Résumé

Le groupe SL2(Z) est l'ensemble des matrices de déterminant unité dont les coefficients sont entiers. On définit SL2(Z)' comme le sous-groupe engendré par l'ensemble des commutateurs de SL2(Z). On prouvera que SL2(Z)' est un groupe libre de rang deux. On prouvera également le critère de Nielsen, qui dit qu'un automorphisme du groupe libre de rang 2 envoie aba-1b-1 sur un conjugué de lui-même ou de son inverse. De plus, on introduira les triplets de Markoff, qui sont les solutions entières et positives de l'équation diophantienne x2+y2+z2 = 3xyz. On parlera aussi des mots de Christoffel inférieurs, définis comme les mots dans {a,b}* qui codent les chemins qui discrétisent par en-dessous la diagonale qui va de (0,0) à (p,q), où p,q E N et p,q premiers entre eux. Dans le dernier chapitre, on prouvera le théorème de Perrine qui affirme que tout triplet de Markoff s'obtient en spécialisant une base du groupe libre sur deux générateurs a,b, en utilisant principalement le critère de Nielsen et les identités de Fricke ainsi que la bijection entre les mots de Christoffel et les triplets de Markoff. De manière précise, cette spécialisation consiste à prendre les traces des deux éléments de la base, ainsi que de leur produit, et à diviser ces trois nombres par trois; on obtient ainsi un triplet de Markoff; tous les triplets de Markoff sont ainsi obtenus. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : SL2(Z), SL2(Z)', critère de Nielsen, triplet de Markoff, paire de Christoffel, théorème de Perrine.

Type:	Mémoire accepté
Informations complémentaires:	Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur.
Directeur de thèse:	Reutenauer, Christophe
Mots-clés ou Sujets:	Théorème de Perrine / SL2(Z) / Critère de Nielsen / Triplet de Markov / Paire de Christoffel
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	23 févr. 2018 14:58
Dernière modification:	23 févr. 2018 14:58
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/10955

Modifier les métadonnées (propriétaire du document)

Statistiques